Article paru dans ULMiste n°22, janvier 2016

 

Eloge de la légèreté (3/4)

 

Thierry Pujolle

 

 

Effets du rapport de similitude (ou homothétie) sur une poutre

 

Une similitude (ou homothétie) est une transformation qui consiste à multiplier toutes les dimensions par un facteur k appelé facteur d'échelle ou rapport de similitude, les surfaces sont donc multipliées par k² et les volumes par k3

La matière constituant la pièce ne change pas, donc ses caractéristiques mécaniques restent les mêmes, càd :                  La masse volumique, le module d'élasticité et la résistance à la rupture principalement.

Nous en concluons que la masse de l'objet après transformation est multipliée par k3 (comme les volumes)

 

Pour notre étude, nous allons considérer une poutre rectangulaire encastrée à l'une de ses extrémités et chargée uniformément, non pas pour sa ressemblance à une aile, mais pour des raisons évidentes de simplicité de calcul.

 

La charge est :  P = n g M  avec  n = Facteur de charge; g = accélération de l'apesanteur; M = 1/2 masse fuselage.  

 

Les unités et les valeurs numériques sont sans importance car nous nous intéressons aux rapports des valeurs et non aux valeurs elles-mêmes. Des valeurs chiffrées ne seront utilisées que pour le traçage des graphiques et dans un but comparatif.

 

Qu'est-ce qui est une similitude et qu'est-ce qui ne l'est pas ?

 

Lorsque l'on dit que toutes les dimensions sont multipliées par k (facteur d'échelle) il ne s'agit pas que des dimensions extérieures, mais de toutes les dimensions de toutes les pièces constituant l'objet original, ce qui signifie que l'objet final comportera exactement le même nombre de pièces que l'original et que chacune de ces pièces est elle-même une similitude de même facteur k, ainsi :

Sont des similitudes : 2 billes de verre de diamètres différents et quelque soit la différence des diamètres.

Ne sont pas des similitudes : un ULM et un A380 car leurs structures sont totalement différentes.

 

Le but de cette étude est de voir l'évolution des caractéristiques d'un avion en fonction exclusivement de ce facteur k, en particulier le rapport Mv/Md (Masse à vide / Masse décollage) et Ch (Charge à emporter = Mu + Mc). Nous nous intéresserons aussi à l'évolution de la Vmin (Vitesse minimum)

On comprendra mieux pourquoi en grossissant, la structure des avions doit changer. En effet, le rapport Mv/Md augmentant avec le facteur k  et un rapport Mv/Md = 1 ne permettant plus d'emport de charge, il arrive fatalement un moment où l'augmentation de k (càd la construction d'un avion plus gros et plus lourd) ne permettra plus l'emport d'une charge supérieure. Ce rapport est d'environ 0,7.

Ce n'est donc pas un choix pour les constructeurs de gros avions de faire une structure très sophistiquée, mais une obligation, sous peine de ne pas pouvoir emporter Mu (Masse utile). Et même avec la débauche de technologie utilisée, ils ne peuvent emporter de la charge que parce que la règlementation ne leur impose qu'un facteur de charge de 2,5 contre 4 pour les ULM. Avec 4 comme exigence de facteur de charge, les gros porteurs tels que nous les connaissons n'existeraient tout simplement pas.

 

La page suivante présente quatre graphiques qui montrent les effets du Facteur d'échelle k sur quatre appareils de références différentes :

            Les deux du haut ont une forte différence de Mao (Masse de l'aile du modèle de référence)

            Les deux du bas ont une forte différence de Mvo (Masse à vide du modèle de référence)

 

Note 1 : La masse à vide inclue la masse de l'aile

Note 2 : L'indice "o" signifie qu'il s'agit du modèle de référence

 

Rappel des différents paramètres :

Ch = Charge = Mu + Mc

Mu = Masse utile

Mc = Masse carburant

Md = Masse au décollage

Mv = Masse à vide
Influence de la masse de l'aile

 

Cas 1 :   Mvo = 300; Mao = 50; Mdo = 450                                   Cas 2 :   Mvo = 300; Mao = 200; Mdo = 450